[게임 수학] #4. 수와 집합

출처 : 이득우의 게임 수학(저자 이득우)

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수학 교육을 통해서 배운 원소들의 집합을 소박한 집합론이라고 한다. 삶에서 사용하는 것에는 아무 문제가 없지만, 게임 속의 세상을 구축하기 위해서는 집합의 성질을 참과 거짓으로 구분할 수 있는 명제가 필요하다.

 

명제 중에서 증명할 필요가 없는 것을 공리라고 한다. 공리를 기반으로 하는 집합론을 공리적 집합론이라고 한다.

 

연산과 수의 구조

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 연산은 두 개의 원소를 사용해서 새로운 원소를 만들기 때문에 이항연산이라한다.

 

같은 집합에 속한 두 원소를 집어 넣은 이항연산으로 만들어진 원소가 항상 동일한 집합에 속한다면, 해당 이항연산은 특정 집합에 닫혀있다고 표현한다.

 

이항연산은 3가지의 성질을 가진다. 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이다.

• 교환법칙
  • 임의의 두 수 a와 b를 연산할 때, 순서에 상관 없이 동일한 결과를 가지는 성질을 의미한다.
• 결합법칙
  • 두 번 이상 연산이 연속될 때, 순서에 상관 없이 연산 결과가 동일한 결과가 나타나는 성질을 의미한다.
• 분배법칙
  • 좌분배법칙과 우분배법칙이 모두 성립하는 성질을 말한다.

또, 이항연산이 가지는 특징은 항등원, 역원이 있다. 항등원은 임의의 수와의 연산이 항상 동일한 결과를 나타나게 하는 수다. 역원은 임의의 수와의 연산 결과를 항상 항등원이 나타나게 만들어주는 수다.

 

정리

이항연산은 닫혀 있다, 교환-결합-분배, 항등원,역원의 성질을 가진다. 각자의 의미는 다음과 같다.

 

1. 닫혀 있다 : 동일한 집합에 속하는 두 수를 넣었을 때, 결과로 같은 집합의 수가 나온다.
2. 교환 법칙 : 임의의 두 수 a와 b의 연산이 순서에 상관 없이 동일한 결과를 가진다.
3. 결합 법칙 : 두 번 이상 연산이 연속될 때, 순서에 상관 없이 동일한 결과를 가진다.
4. 분배 법칙: 좌분배 법칙과 우분배 법칙이 성립된다.
5. 항등원 : 항상 결과가 주어진 원소가 되는 특별한 원소
6. 역원 : 항등원을 결과로 만들어주는 원소

 

수의 구조

두 가지 연산이 있다고 가정하고 아래 조건에 해당하는 수의 집합을 생각해보자.

1. 연산에 대해 닫혀 있다.
2. 연산에 대해 결합 법칙, 교환 법칙이 성립한다.
3. 연산에 대한 항등원, 역원이 존재한다.
4. 두 번째 연산에 대해 닫혀 있다.
5. 두 번째 연산에 대해 결합 법칙, 교환 법칙이 성립한다.
6. 두 번째 연산에 대해 항등원, 역원이 존재한다.
7. 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 분배 법칙이 성립된다.

조건에 모두 해당하는 수의 집합은 유리수, 실수가 있다. 이렇게 모든 조건에 해당하는 수 집합을 공리적 집합론 관점에서 체의 구조를 지닌다고 표현한다.

 

참고로 두개의 수 집합은 뺄셈과 나눗셈이 교환법칙을 성립하지 않아 체의 구조를 만족하지 못한다. 이 경우에는 덧셈과 곱셈의 역원을 사용하여 뺄셈과 나눗셈을 진행한다.