[게임 수학] #2. 삼각함수의 역함수

출처 : 이득우의 게임 수학(저자 이득우)

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삼각함수를 사용해서 각도에 대응하는 벡터의 좌표를 얻을 수 있다. 그렇다면 역으로 벡터의 좌표를 가지고 각도를 알아내는 것도 생각해볼 수 있다. 이때 사용되는 것이 삼각함수의 역함수인 $\arcsin$(아크사인), $\arccos$(아크코사인), $\arctan$(아크탄젠트) 함수다.

 

1. 역함수를 만들기 위해서

함수에 역함수가 존재하기 위해서는 전단사 함수가 되어야 한다. $\sin$, $\cos$, $\tan$ 함수는 전단사 함수의 성질을 가지고 있지 않기 때문에 공역과 정의역의 범위를 정해야 한다.

 

2. arcsin 함수

공역의 범위를 $[-1, 1]$로 제한하고 정의역의 범위를 $[-90, 90]$으로 제한하면, 전단사 함수의 성질을 띈다.

 

$\sin^{-1}(x) = \arcsin(x)$

 

3. arccos 함수

공역의 범위를 $[-1, 1]$로 제한하고 정의역의 범위를 $[0, 180]$으로 제한하면, 전단사 함수의 성질을 띈다.

 

$\cos^{-1}(x) = \arccos(x)$

 

4. arctan 함수

-90도와 90도는 값이 존재하지 않는다. 정의역의 범위만 $[-90, 90]$로 제한하여 나타낼 수 있다.

 

5. atan2 함수

$\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ 함수가 다루는 영역은 3사분면을 다루지 않는다. $\arctan$ 함수에 분수를 보내지 않고 분리된 값을 보내면 3사분면의 값을 확인할 수 있다. 이렇게 값을 따로 보내는 함수를 atan2 함수라고 한다.