[수학] 삼각함수(Sin, Cos, Tan)

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☑️ 삼각함수(Sin, Cos, Tan)

지금까지 수학을 모르고 살던 나에게 수학의 필요성을 일깨워준 것이 삼각함수다. 그래픽스, 렌더링 과정, 그리고 액션 게임을 개발하면서도 삼각함수가 사용된다. 심지어 유니티가 제공하는 함수 중에는 삼각함수의 개념을 내부적으로 포함하고 있는 것들도 있다. 이번 게시글에서는 삼각함수에 대해서 설명한다.

 

☑️ 삼각비(Trigonometric ratios)

먼저 삼각함수를 알기 위해서 삼각비 부터 시작한다. 삼각비는 삼각형의 세 변의 길이 중에서 두 변의 비례 관계를 나타낸 값을 의미한다. 삼각비와 삼각함수는 밀접한 관계를 가진다. 삼각형은 세 개의 변을 가지고 있다. 그렇기 때문에 비례 관계를 총 6개를 만들어 낼 수 있고, 이 중에서 3가지가 싸인, 코싸인, 탄젠트라는 이름을 가진다.

빗변 / 높이

높이 / 빗변

빗변 / 밑변

밑변 / 빗변

밑변 / 높이

높이 / 밑변

 

▶️ 사인/코사인 = 탄젠트

삼각비 중에서 흥미로운 내용이 하나 있는데, 사인을 코사인으로 나누면 탄젠트 값과 동일하단 것이다. 아래의 예시를 통해서 살펴보자.

 

이미지에 있는 삼각형의 사인, 코사인, 탄젠트 값을 구하게 된다면 아래의 표에 있는 값과 같다.

$ \sin $	$ \frac{3}{5} $
$ \cos $	$ \frac{4}{5} $
$ \tan $	$ \frac{3}{4} $

이때 사인을 코사인으로 나눠보자.

 

$$ \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} = \tan(\theta) $$

 

이 결과를 통해서 탄젠트는 사인을 코사인으로 나눈 값이라는 사실을 직접 확인 가능하다.

 

☑️ 호도법(Circular measure)

삼각함수는 실수(Real Number) 영역에서 정의되며, '0~360도'로 각도를 나타내는 육십분법은 360도처럼 큰 정수를 다루게 되면서 계산 효율성이 떨어지기 때문에 더 직관적인 호도법을 선호한다.

 

호도법은 원의 반지름을 이용해서 각도를 정하는 개념으로, 라디안(Radian)으로 발음하고 1 Rad로 표기한다.

 

호도법으로 육십분법의 180도를 표현하면 다음의 사진과 같이 3 Rad 보다는 많고 4 Rad보다는 적은 값을 가지게 되는데, 3.141592..로 이어지는 무리수인 원주율, 파이( \pi )다.

 

☑️ 삼각함수

지금까지 나온 내용은 모두 삼각함수에 포함된 내용이다. 삼각함수는 직각삼각형의 한정된 각도(0-90도)에서만 정의되는 삼각비를 확장해서 실수 영역 전체에서 함수화 한 것을 의미하기 때문이다. 삼각함수는 입력 값을 가지고 값에 대한 두 변의 비례 길이를 반환하는 함수를 의미한다.

지금까지 나온 특징을 가지고 데카르트 좌표계에서 삼각함수를 아래와 같이 사용가능하다.

\[
\begin{align*}
\sin(\theta) &= \frac{\text{높이}}{\text{빗변}} = \frac{\text{높이}}{1} = \text{높이} \\
\cos(\theta) &= \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}} = \frac{\text{밑변}}{1} = \text{밑변}
\end{align*}
\]

 

삼각함수는 비율이 아닌 단순한 길이값으로도 해석할 수 있게 된다.