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[OSTEP] 7장. 스케줄링: 개요(PPT)

태역 — Thu, 24 Jul 2025 17:42:44 +0900

☑️ 7. 스케줄링: 개요

해당 게시글은 운영체제 스터디 발표 내용을 정리해서 업로드했습니다.

스케줄링 정책은 CPU가 프로세스를 사용함에 있어서 중요한 영향을 끼친다.
- 스케줄링 정책(Scheduling Policy) : CPU를 어떤 프로세스에게 할당할지 결정하는 정책
7장은 과거의 스케줄링 정책들을 설명하는 시간을 가진다.
스케줄링 정책을 효과적으로 설명하기 위해서 비현실적인 5가지의 워크로드(Work)를 정의한다.
1. 모든 작업은 같은 시간 동안 실행된다.
2. 모든 작업은 동시 도착한다.
3. 작업이 시작되면 종료될 때까지 CPU에서 동작한다.
4. 모든 작업은 CPU만 사용한다.
5. 각 작업의 실행 시간은 사전에 알려져 있다.

추가로 반환 시간(Turnaround Time)에 대해서도 알아보자.
- 반환 시간은 작업이 도착하고 완료까지 걸린 시간을 의미한다.
- Tunaround = Completion - Arrival
- 5초에 작업이 도착하고 10초에 작업이 완료되었다면, 반환 시간은 5초다.
  - 5 = 10 - 5

1초의 작업 시간을 가지는 작업 A, B, C, D가 동시에 도착했다고 가정하자.
선입 선출(First In First Out)은 먼저 도착한 작업을 우선적으로 처리한다.
- 평균 반환 시간은 2.5초가 된다.

1번 가정을 완화해 보자. 작업은 서로 다른 작업 시간을 가지게 된다.
작업 시간 5초를 가지는 작업 A가 먼저 실행된다고 하면, 평균 반환 시간은 6.5초로 증가한다.

이전과 같이 작업 시간이 긴 프로세스를 기다리게 되는 상황을 콘보이 현상(Convoy Effect)이라고 한다.

두 번째는 최단 작업 우선(Shortest Job First)이다. 짧은 실행 시간을 가진 작업을 먼저 처리하게 된다.
이러면 콘보이 현상을 완화할 수 있을 것 같다. 하지만 2번 가정을 완화해 보자.

작업 A가 먼저 도착하고 이후에 B, C, D가 도착하게 된다면 다시 콘보이 현상이 발생한다.

이번에는 최소 잔여시간 우선(Shortest Time-to-Completion First)이 기법은 짧은 작업 시간을 가진 작업을 최우선적으로 처리한다.
- 이러한 작업이 되기 위해서 3번 가정도 완화하자.
작업 A가 CPU를 점유하고 있는 상황에서 작업 B, C, D가 들어온다.

그러면 CPU는 작업 A를 중단하고 작업 B, C, D를 모두 수행한 후에 다시 작업 A를 수행한다.
평균 반환 시간은 3.75로 준수한 성능을 보이게 된다.

이 시점에서 새로운 평가 기준을 추가하고 살펴보자.
응답 시간(Response Time)은 작업이 도착하고 처음으로 작업이 처리될 때까지 걸린 시간을 의미한다.
최단 잔여시간 우선은 평균 응답 시간 1.5초가 걸리게 된다.

라운드 로빈(Round Robin)은 일정 시간 N초마다 작업을 전환하면서 실행하는 공정한 정책이다.
- A 실행하고 B 실행하고 C 실행하고... 작업이 종료될 때까지 계속 반복한다.
이때, 일정 시간 N초를 타임 슬라이스(Time Slice) 혹은 스케줄링 퀀텀(Scheduling Quantum)이라고 부른다.
- 포스팅에선 타임 슬라이스로 통일해서 지칭한다.

타임 슬라이스의 균형적인 설계는 매우 중요하다.
- 타임 슬라이스의 시간이 긴 경우 : 프로세스의 응답 시간이 오래 걸리게 된다.
- 타임 슬라이스의 시간이 적은 경우 : 성능에서 오버헤드가 발생한다.
  - 작업의 변환에는 컨텍스트 스위칭이 일어나기 때문이다.

컨텍스트 스위칭(Context Switching)은 CPU가 실행 중이던 프로세스 혹은 스레드의 상태를 저장하고 다른 프로세스, 스레드로 전환하는 과정을 의미한다.
- 이때, 프로세스는 다시 실행될 수 있기 때문에 중단 정보를 백업하고 새로운 프로세스, 스레드의 정보도 복원해야 한다.
- 또 컨텍스트 스위칭을 실시하면 기존 작업에서 유효하던 캐시 데이터가 무효화가 되기 때문에 일시적 성능 저하가 발생한다.
그렇기 때문에 타임 슬라이스를 적절하게 설계하는 것은 무척이나 중요한 요소다.

라운드 로빈은 응답 시간 부분에서는 굉장히 우수한 성능을 가지지만, 반환 시간에서는 처참한 성능을 보여준다.
그렇다면 라운드 로빈은 좋지 않은 스케줄링 기법인가?
- 그것은 아니다.

우리는 응답 시간과 반환 시간 사이의 트레이드 오프(Trade-Off)를 고민해야 한다.
하나의 가치를 얻기 위해서 다른 가치를 포기하는 상황은 프로그래밍에서 자주 발생하는 일이다.

상황에 맞춰서 트레이드 오프 전략을 사용하자.

다시 기법으로 넘어와서 4번 가정을 완화해 본다.
모든 작업은 CPU만 사용하지 않는다. 앞으로는 입/출력 작업도 같이 병행된다.

입/출력을 받는 사이에 CPU는 비게 된다. CPU가 쉬는 시간을 가진다면 얼마나 비효율적인가.

라운드 로빈과 최소 잔여시간 우선을 동시에 사용해 보자.
작업 A가 프로세스 입/출력을 받는 시간에는 작업 B가 실행되도록 해보자.
그렇다면 B 프로세스의 종료 시간을 기존 10초에서 8초까지 단축할 수 있게 된다.
- 작업 B의 작업 시간은 5초이나, PPT에서는 2초를 누락함.

이제 마지막 가정 5번에 대해서 생각해 보자.
이 모든 가정들이 비현실적임을 알려주는 가장 큰 내용이다.
각 작업의 실행 시간은 프로그래머도, 사용자도 알 수 없다.
- 예측의 영역에서만 어렴풋이 짐작할 뿐이다.
- 3.42717초 걸리는 작업이 있다는 것을 우리가 어떻게 알 수 있을까.
그렇기 때문에 우리가 세웠던 가정들을 무의미하고 비현실적이다.

OSTEP의 8장은 멀티 레벨 피드백 큐(Multi-Level Feedback Queue)를 이야기한다.
멀티 레벨 피드백 큐는 작업의 실행 시간을 예측한다는 특징과 여러 정책을 혼합해서 사용한단 특징을 가진다.
이 내용은 다음 8장에서 알아보도록 하자.

[OSTEP] 6장. 제한적 직접 실행 원리(Limited Direct Execution)

태역 — Tue, 22 Jul 2025 15:28:59 +0900

☑️ 6. 제한적 직접 실행 원리(Limited Direct Execution)

운영체제는 CPU 가상화를 위해서 여러 프로세스가 동시에 실행되는 것처럼 보이도록 물리적인 CPU를 공유한다.
- 한 프로세스를 잠시 실행하고 다른 프로세스를 또 잠시 실행한다. 이러한 기법을 시분할(Time-Sharing)이라고 한다.
이러한 가상화 기법은 몇 가지 문제를 해결해야 한다.
1. 성능 저하 : 시스템에 과중한 오버헤드를 주지 않아야 한다.
2. 제어 문제 : CPU에 대한 통제를 유지하면서 프로세스를 효율적으로 실행해야 한다.

☑️ 6.1. 기본 원리 : 제한적 직접 실행

운영체제 개발자들은 프로그램을 빠르게 실행하기 위해서 제한적 직접 실행(Limited Direct Execution) 기법을 개발했다.
- 제한적 직접 실행은 프로그램을 CPU 상에서 직접 실행시키는 것이다.
제한적 직접 실행에서 "제한적"을 제외한 "직접 실행"은 간단하다.
1. 프로세스 목록에 실행하고자 하는 프로세스를 추가한다.
2. 메모리 할당 후, 프로그램 코드를 찾아 메모리에 탑재한다.
3. Entry-Point로 진입하여 코드를 실행한다.
"직접 실행"의 경우는 다음과 같은 문제를 고려해볼 수 있다.
1. 프로그램이 악의적이지 않다는 것을 보장할 수 있는가?
2. 운영체제는 어떻게 프로그램의 실행을 종료하고 다른 프로그램(프로세스)을 실행할 수 있는가?
위의 내용들을 고민하고 해당 기법을 개발하면서 "제한적"이라는 명칭이 붙은 이유를 알 수 있다.

☑️ 6.2. 문제점 1: 제한된 연산

직접 실행의 장점은 CPU에서 실행하기 때문에 빠르게 실행된다는 점이다.
그렇지만, 프로세스가 특수한 종류의 연산을 수행하기를 원한다면?
- 새로운 시스템 자원 할당이 필요로 하다.
프로세스가 원하는 것을 할 수 있도록 할 수 있으나, 바람직하지 못한 시스템을 만든다.
- 파일 접근을 검사하는 파일 시스템을 만들었을 때, 프로세스가 전체 디스크를 읽고 사용할 수 있다면, 만든 파일 시스템은 필요 없어진다.
- 이러한 문제를 해소하기 위해서 유저 모드(User Mode)란 개념이 도입되었다.
  - 유저 모드에서 실행되는 코드는 할 수 있는 역할이 제한된다.
유저 모드와 대비되는 커널 모드(Kernel Mode)는 운영체제의 중요한 코드를 실행할 수 있다.
- 유저 모드에서 특수한 종류의 연산이 필요하다면 커널 모드로 변경하고 작업을 수행한 후, 다시 유저 모드로 변환한다.
  - 이러한 작업은 시스템 콜(System Call)을 통해서 수행할 수 있다.
시스템 콜 수행 까지의 과정
1. 프로그램은 Trap 특수 명령어를 실행한다.
2. 운영체제가 사용 가능한 특권 모드를 커널 모드로 변경한다.
3. 프로세스가 요청한 작업을 수행한다.
4. return-from-trap 특수 명령어를 호출하여 다시 사용자 모드로 변경한다.
하드웨어는 Trap 특수 명령어를 수행할 때 주의가 필요하다.
- 호출한 프로세스의 필요한 레지스터 정보를 저장해야 한다.
- return-from-trap를 실행했을 경우, 프로세스가 정확하게 리턴할 수 있도록 하기 위해서다.
운영체제는 Trap 특수 명령어 안전하게 사용 가능할 수 있도록 아래와 같은 작업 과정을 거치게 된다.
- 커널이 컴퓨터 부팅 시, 트랩 테이블(Trap Table)을 생성한다.
- 트랩 테이블은 하드웨어에게 예외 사건이 발생했을 때, 어떤 코드를 참조해야 하는지 알려주는 행동 보관소다.
  - 어떤 코드가 행동을 요청하면 트랩 테이블을 확인 후에 상황에 맞는 트랩 핸들러(Trap Handler)를 제공 받는다.
모든 시스템 콜은 자신의 고유한 번호를 부여 받는다.
- 사용자 프로그램은 원하는 시스템 콜을 호출하기 위해서 고유한 번호를 레지스터 혹은 스택의 지정된 위치에 저장한다.
- 이후 Trap 명령어를 실행하면 명령어에 맞는 트랩 핸들러가 실행된다.
  - 이 때, 운영체제가 고유한 번호가 유효한 지 확인하고 제공하게 된다.
시스템 콜 코드의 정확한 위치는 운영체제만 알고 있다.
- 만약, 사용자 프로그램이 알게 된다면 자유롭게 커널 코드를 실행 가능하기 때문이다.
- 시스템 콜 번호를 사용하는 것은 이러한 문제를 막기 위한 일종의 보안 기법이다.

☑️ 6.3. 문제점 2: 프로세스 간 전환

직접 실행의 두번째 문제점은 프로세스 전환이 가능해야 한다는 점이다.
- 프로세스가 실행중이라는 것은 운영체제가 실행 중이지 않다는 것이다. 이런 상황에선 어떻게 프로세스를 전환할 수 있을까?

▶️ 협조 방식: 시스템 콜 호출시 까지 대기

협조(Cooperative) 방식은 CPU를 장기간 사용해야 하는 프로세스들은 다른 프로세스들이 CPU를 사용 할 수 있도록 다시 CPU 사용권을 반환할 것이라고 믿는다.
- 실제로 예전 시스템에서 사용되었다.
이 방식은 매우 수동적이며, CPU 제어권 흭득을 위해서 운영체제는 반환을 대기하는 상황이 발생한다.

▶️ 비협조 방식: 운영체제가 제어권 확보

프로세스가 CPU 제어권을 넘기지 않는 경우, 하드웨어의 도움을 받아 회수할 수 있다. 이러한 방법을 비협조 방식으로 칭한다.
CPU 제어권을 반환하는 시스템 콜 호출 없이도 타이머 인터럽트(Timer Interrupt)를 이용해서 CPU 제어권을 반환 받을 수 있다.
- 타이머는 수 밀리 초마다 인터럽트라 불리는 하드웨어 신호를 발생시키도록 프로그램 가능하다.
- 인터럽트가 발생하면 이를 처리하는 것은 운영체제의 가장 중요한 역할 중 하나다.
- 운영체제는 인터럽트 발생 시, 수행 중인 프로세스를 중단시키고 해당 인터럽트에 대한 인터럽트 핸들러(Interrupt Handler)를 실행한다.
- 이때, 인터럽트 처리 과정에서 제어권은 다시 운영체제로 넘어가게 된다.
운영체제는 타이머 인터럽트가 발생 시 실행해야 할 코드의 주소를 기록해야 한다.
- 컴퓨티 부팅 시, 운영체제는 정의된 인터럽트에 대해서 관련 인터럽트 핸들러의 위치를 테이블 형태로 메모리에 초기화 시킨다.

▶️ 문맥의 저장과 복원

운영체제가 제어권을 흭득하면 중요한 결정을 해야 한다.
- 현재 실행 중인 프로세스를 계속 실행시키는가?
- 다른 프로세스로 전환을 하는가?
이 결정은 운영체제의 스케줄러(Scheduler)에 의해서 내려진다.
- 스케줄러의 작동 방식을 정하는 것은 스케줄링 정책(Scheduling Policy)이라고 하는데, 이는 7장에서 배운다.
프로세스 전환을 결정하면, 운영체제는 컨텍스트 스위칭(Context Switching)을 시도한다.
- 현재 실행 중인 프로세스의 레지스터 값들을 커널 스택 같은 곳에 저장하고 새로운 프로세스의 커널 스택으로부터 레지스터 값을 복원하는 것이다.
컨텍스트 스위칭은 빠른 속도를 위해서 주로 어셈블리 코드를 사용해서 작성되고 아래의 일을 수행한다.
- 운영체제는 실행 중인 프로세스의 범용 레지스터, PC 등의 데이터를 커널 스택에 저장하고 새로운 프로세스의 값은 CPU로 읽어 들인다.

☑️ 6.4. 병행실행으로 인한 문제

시스템 콜 처리 과정에서 타이머 인터럽트가 발생하거나, 인터럽트 처리 과정에서 또 인터럽트가 발생하는 문제들이 생길 수 있다.
- 이러한 문제들의 간단한 해법은 인터럽트를 처리하는 동안에는 인터럽트를 불능화 시키는 것이다.
- 이러한 기법은 손실되는 인터럽트가 발생하기 때문에 신중하게 사용해야 한다.
자세한 내용은 병행성 파트에서 다시 소개한다.

[OSTEP] 5장. 막간: 프로세스 API

태역 — Mon, 21 Jul 2025 06:39:42 +0900

☑️ 5. 막간: 프로세스 API

이번 장은 운영체제 API와 사용법을 포함해서 시스템의 흐름을 이야기한다.

☑️ 5.1. fork() 시스템 콜

fork() 시스템 콜은 프로세스 생성에서 사용되는 시스템 콜이다.
시스템 콜을 통해서 프로세스를 생성하게 된다면, 일반적으로 새로 생성한 프로세스는 자식 프로세스, 자식 프로세스를 생성한 프로세스는 부모 프로세스라고 불린다.
- 자식 프로세스와 부모 프로세스는 서로 다르다. -> 서로 고유한 주소 공간, 레지스터, PC 등의 값을 가진다.
- 이때, 자식 프로세스와 부모 프로세스에서 fork() 시스템 콜로 반환 받는 값이 서로 다르다.
  - 부모 프로세스는 자식 프로세스의 PID.
  - 자식 프로세스는 0 정수 값을 가진다.
- CPU 스케줄러의 영향으로 프로세스 실행 순서에 있어서는 비결정성(Nondeterminism)을 가지게 된다.

☑️ 5.2. wait() 시스템 콜

wait() 시스템 콜은 자식 프로세스의 종료를 기다릴 때 부모 프로세스가 사용한다.
- 자식 프로세스가 종료되면 wait() 시스템 콜은 리턴한다.
- 이로 인해서 프로그램은 동일한 결과를 출력할 수 있다.
  - 자식이 종료되고 부모가 실행되기 때문.

☑️ 5.3. 마지막으로, exec() 시스템 콜

exec() 시스템 콜은 자기 자신이 아닌 다른 프로그램을 실행할 때 사용한다.
- 실행 파일의 이름과 인자가 주어지면, 실행 파일의 코드와 정적 데이터를 읽고 현재 실행 중인 프로세스의 코드 세그먼트와 정적 데이터 부분을 덮어씌운다.
- 힙과 스택 및 프로그램 다른 주소 공간들로 새로운 프로그램의 실행을 위해 다시 초기화한다.
- 새로운 프로세스를 생성하지 않고 현재 실행 중인 프로세스를 대체하는 것.

☑️ 5.4. 왜, 이런 API를?

UNIX 쉘 구현을 위해서 fork()와 exec()를 분리했다.
쉘은 파일 시스템에서 실행 파일의 위치를 찾고 명령어 실행을 위해 fork()를 호출하고 새로운 자식 프로세스를 만든다.
- 이후 exec()의 변형 중 하나를 호출하고 wait()를 사용하여 명령어가 끝나기를 기다린다.
- 자식 프로세스가 종료되면, wait()는 리턴하게 되고 프롬프트로 전환하게 된다.

☑️ 5.5. 프로세스 제어와 사용자

UNIX 시스템에는 다양한 시스템 콜이 존재한다. 그 중 kill() 시스템 콜은 프로세스에게 멈추거나 끝내기와 같은 신호(Signal)를 보내는 데 사용된다.
- 대부분 UNIX 쉘은 특정 신호를 보내는 단축키가 설정되어 있다. ( ctrl+c, ctrl+z 등 )
- 현대 운영체제에서 신호를 보내는 제어 권한은 사용자(User)에서 가능하다.

[OSTEP] 4장. 프로세스의 개념

태역 — Wed, 16 Jul 2025 17:17:37 +0900

☑️ 4. 프로세스의 개념 (1)

일반적으로 프로세스는 실행 중인 프로그램으로 정의한다.
- 프로그램은 디스크 상에 존재하며 실행을 위한 명령어와 정적 데이터 묶음이다.
- 이 명령어와 정적 데이터를 읽고 실행함으로서 프로그램을 동작시키는 것이 운영체제다.
운영체제는 CPU의 가상화를 통해서 여러 개의 프로그램이 동작할 수 있는 환경을 만든다.
- 시분할(Time-Sharing) 기법을 사용해서 원하는 수 만큼의 프로세스를 동시에 실행할 수 있게 한다.
- 시분할 기법은 CPU를 공유하기 때문에 각 프로세스의 성능은 낮아진다.
CPU의 가상화를 효율적으로 구현하기 위해서는 도구와 지능이 필요하다.
- 도구는 메커니즘(Mechanism)이라고 하고 필요한 기능을 구현하는 방법을 의미한다.
  - 나중에 배우는 문맥 교환(Context-Switching)의 구현에서 알 수 있다.
- 지능은 정책(Policy) 형태로 표현하고 운영체제에서 어떤 결정을 내리는 데 사용하는 알고리즘을 의미한다.
  - 운영체제의 스케줄링 정책(Scheduling Policy)이 이러한 결정을 내린다.

☑️ 4.1. 프로세스의 개념 (2)

운영체제는 실행 중인 프로그램의 개념을 제공하는데, 이를 프로세스라고 한다.
- 프로세스는 실행 중인 프로그램이다.
- 특정한 순간의 프로세스를 간단하게 표현하려면 실행되는 동안 접근했거나 영향을 받은 자원의 목록을 작성하면 된다.
프로세스의 구성 요소를 이해하기 위해서는 하드웨어 상태를 알아야 한다.
- 프로세스의 하드웨어 상태 중 중요한 구성 요소는 메모리다.
  - 명령어가 메모리에 저장되고 실행 프로그램이 읽고 쓰는 데이터도 메모리에 저장되기 때문.
  - 프로세스가 접근할 수 있는 메모리(주소 공간)는 프로세스 구성 요소다.
- 레지스터도 프로세스의 하드웨어 상태를 구성 요소다.
  - 많은 명령어들이 레지스터를 직접 읽거나 갱신한다.
    - 레지스터는 목적에 따라서 이름이 붙었으며, PC, IP, SP, FP 등의 레지스터가 존재한다.
- 프로그램은 영구 저장 장치에 접근하기도 한다.
  - 입출력 정보는 프로세스가 현재 열어 놓은 파일 목록을 가진다.

☑️ 4.2. 프로세스 API

운영체제에 따라 다르게 제공되고 있는 중요한 API를 우선적으로 살펴본다.
- 생성(Create) : 새로운 프로세스를 생성한다.
- 제거(Destroy) : 프로세스를 강제로 제거할 수 있는 기능도 제공해야 한다.
- 대기(Wait) : 모종의 이유로 실행 중지를 기다릴 필요가 있다.
- 각종 제어(Miscellaneous Control) : 생성, 제거, 대기 이외로 여러 가지 제어 기능이 제공된다.
- 상태(Status) : 프로세스의 상태 정보를 얻는다. 실행 시간과 프로세스의 상태 등이 주어진다.

☑️ 4.3. 프로세스 생성 : 좀 더 자세하게

프로그램을 위해 실행되는 첫 단계는 프로그램 코드와 정적 데이터를 메모리, 프로세스의 주소 공간에 탑재(Load)하는 것이다.
- 탑재된 후, 특정 크기의 메모리 공간이 프로그램에 스택 용도로 할당되어야 한다.
- 이후에는 힙 용도로 사용될 메모리 영역을 할당한다.
- 그 다음에는 입출력과 관계된 초기화 작업을 수행한다.
- 표준 입력(STDIN), 표준 출력(STDOUT), 표준 에러(STDERR) 장치에 해당하는 세 개의 파일 디스크립터(File Descriptor)를 가진다.
- 최종적으로 프로그램의 Entry Point, 즉 Main 함수에 도달하고 프로그램을 실행한다.

☑️ 4.4. 프로세스 상태

프로세스의 상태는 간단하게 아래와 같이 구분할 수 있다.
1. 실행(Running) : 실행 상태에서 프로세스는 CPU에 의해서 실행중이다.
2. 준비(Ready) : 프로세스는 실행 준비가 되었으나, CPU에는 다른 작업을 진행하고 있어서 실행을 대기 중이다.
3. 대기(Blockde) : 프로세스가 다른 작업을 기다리는 동안 수행을 중단시키는 연산이다.

☑️ 4.5. 자료 구조

운영체제도 일종의 프로그램이다. 다양한 정보를 가지기 위한 자료 구조를 가진다.
- 프로세스 상태를 파악하기 위해 프로세스 리스트(Process List)와 같은 자료 구조를 가진다.
- 다른 부가적인 자료 구조도 가지고 있다.
레지스터 문맥(Register Context) 자료 구조는 프로세스가 중단되었을 때, 프로세스의 레지스터 값을 저장한다.
- 문맥 교환에 관련된 내용으로 추후에 다시 나온다.

[OSTEP] 2장. 운영체제 개요

태역 — Tue, 15 Jul 2025 21:43:29 +0900

☑️ 2. 운영체제 개요

프로그램이 실행되면 매우 단순한 일을 한다.
1. 명령어를 실행한다.
2. CPU는 명령어를 초당 수백만 번 반입(Fetch)하고 해석(Decode)하고 실행(Execute)한다.
3. 명령어 작업을 완료 후, CPU는 프로그램 종료 전까지 다음 명령어를 지속해서 처리한다.
우리는 이 책을 통해서 시스템을 사용하기 쉽게하기 위해 프로그램 실행 시 발생하는 일들을 배운다.
프로그램을 쉽게 실행시키고, 프로그램 간의 메모리 공유를 가능하게 하고, 장치와 상호작용을 가능하게 하는 등의 일을 수행하는 소프트웨어가 있다.
- 시스템을 사용하기 편리하면서 정확하고 올바르게 동작시킬 책임이 있기 때문에 이를 운영체제(OS, Operating System)이라고 한다.
이 책에서는 운영체제를 3가지(가상화, 병행성, 영속성)로 구분해서 설명한다.
- 가상화(Virtualization) 개념 : 물리적 형태의 자원(CPU, RAM, DISK 등)을 이용해서 가상의 형태로 이용하는 방법들을 배운다.
- 병행성(Concurrency) 개념 : 프로그램이 동시에 많은 일들을 수행하려고 할 때, 발생하는 문제들과 해결 방법을 배운다.
- 영속성(Persistence) 개념 : 컴퓨터의 일부 장치는 휘발성 방식으로 저장한다. 이로 인해서 발생하는 문제들과 해결 방법을 배운다.

☑️ 2.1. CPU 가상화

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <sys/time.h>
#include <assert.h>
#include "common.h"

int main(int argc, char *argv[]) {
	if (argc != 2) {
		fprintf(stderr, “usage: cpu <string>\n ”);
		exit(1);
    }
	
    char *str = argv[1];
	
    while (1) {
		Spin(1);
		printf(“%s\n ”, str);
	}
    
	return 0;
}

코드 동작 설명 : 1초 동안 실행된 후, Return하는 Spin(1) 함수를 실행한다. 이후에는 사용자가 명령어 라인으로 전달한 문자열을 반복해서 출력한다.

이 코드를 cpu.c로 저장하고 단일 CPU 시스템에서 컴파일하고 실행한다고 가정하자.
- 실행 시 작성한 문자열을 1초에 걸쳐서 반환한다.
같은 작업을 하는 프로그램을 여러개 실행하고 각자 A, B, C, D의 문자열을 반환하도록 해보자.
- A, B, C, D가 반복되어 출력된다.
결과를 두고 봤을 때, CPU는 단 하나 뿐이지만 여러 개의 CPU가 존재하는 환상이 만들어진다.
- 이러한 것을 CPU 가상화(Virtualizing the CPU)라고 한다.

☑️ 2.2. 메모리 가상화

물리 메모리(Physical memory)는 매우 단순한 바이트의 배열로 이루어져 있다.
메모리를 읽기 위해서는 데이터에 주소(Address)를 명시해야 한다.
- 메모리에 Wirte, Read 작업을 위해서는 주소와 데이터가 명시되어야 한다.
메모리는 프로그램이 실행되는 동안 계속 접근되고 있다.
- 실행되고 있는 프로그램은 자신의 데이터를 유지하고자 메모리에 적재한다.
- 메모리 접근 명령어(Load, Store 등)을 통해서 메모리에 접근한다.

#include <unistd.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include“common.h ”

int main(int argc, char *argv[]) {
	int *p = malloc(sizeof(int)); // a1
	assert(p != NULL);
    
	printf(“(%d) memory address of p: %08x\n ”,	getpid() , (unsigned) p); // a2
	*p = 0; // a3
    
	while (1) {
		Spin(1);
		*p = *p + 1;
		printf(“(%d) p: %d\n ”, getpid() , *p); // a4
	}
    
	return 0;
}

코드 동작 설명 : 메모리를 할당받고 메모리의 주소를 출력한다. 새로 할당받은 메모리의 첫 슬롯에 0을 저장하고 While문에 진입하면서 1초 대기 후, 변수 P가 가리키는 주소에 저장되어 있는 값을 1 증가시킨다.

프로그램은 PID를 통해서 프로세스 고유 ID를 출력하고 이후에는 숫자를 출력한다.
프로그램을 2개 이상 실행하면 동일한 주소 값을 가지고 똑같이 출력된다.
- 대체 코드로 Window 11에서 확인했을 때는 각자 다른 주소가 나온다. 가상 메모리 주소도 동일한 값을 뱉어내진 않기 때문에 책의 예시에 대해서는 잘 모르겠으나, 이 내용에서 중요한 대목은 아니다.
- 핵심은 프로그램이 각자 자신의 메모리를 가지는 것처럼 보인다는 점.
운영체제는 메모리 가상화를 하기 때문에 위와 같은 상황들이 발생한다.
- 각 프로세스는 본인들의 가상 주소 공간을 가지게 된다.
  - 가상 주소 공간을 컴퓨터의 물리 메모리로 매핑(mapping)한다.
  - 하나의 프로그램이 수행하는 메모리 연산은 다른 프로그램의 주소 공간에 영향을 주지 않는다.
실제로 물리 메모리는 공유 자원이고 운영체제에 의해서 관리된다.

☑️ 2.3. 병행성

프로그램이 한 번에 많은 일을 하려고 할 때, 이 용어를 가리킨다.
병행성 문제는 운영체제 자체에서 발생한다.
- 운영체제는 프로세스 실행, 다음 프로세스 실행, 또 다음 프로세스 실행 등 여러 프로세스를 실행시키면서 많은 일들을 한다.
- 이런 행동으로 인해서 심각하거나 흥미로운 문제가 발생한다.
병행성 문제는 운영체제에서만 발생하는 문제가 아니고 멀티 스레드 프로그램에서도 발생한다.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "common.h"

volatile int counter = 0;
int loops;

void *worker(void *arg) {
    int i;
    for (i = 0; i < loops; i++) {
        counter++;
    }
    return NULL;
}

int main(int argc, char *argv[]) {
    if (argc != 2) {
        fprintf(stderr, "usage: threads <value>\n");
        exit(1);
    }

    loops = atoi(argv[1]);
    pthread_t p1, p2;

    printf("Initial value : %d\n", counter);

    Pthread_create(&p1, NULL, worker, NULL);
    Pthread_create(&p2, NULL, worker, NULL);
    Pthread_join(p1, NULL);
    Pthread_join(p2, NULL);

    printf("Final value : %d\n", counter);

    return 0;
}

코드 동작 설명 : 메인 프로그램은 Pthread_create()를 사용해서 두 개의 스레드를 생성한다. 각 스레드는 worker() 루틴을 실행한다. worker() 루틴은 loops번 만큼 루프를 반복하면서 counter 변수의 값을 증가시킨다.

loops 값을 1,000으로 설정하면 Final Value는 2,000이 된다.
loops 값을 100,000으로 설정하면 Final Value는 우리가 예측하지 못한 다른 값이 나온다.
- 참고 : 다시 실행해도 마찬가지로 나타난다. 경쟁 상태(Race Condition)에 관련된 내용이며, 이후에 책에서 설명한다.
예측하지 못한 다른 값이 나오는 원인은 명령어가 한 번에 하나씩만 실행되는 것과 관련있다.
- counter 변수를 증가시키는 부분은 세 개의 명령어로 이루어진다.
  1. counter 값을 메모리에서 레지스터로 탑재하는 명령어
  2. 레지스터를 1 증가시키는 명령어
  3. 레지스터의 값을 다시 메모리에 저장하는 명령어
- 이 세 개의 명령어가 묶여서 실행되지 않기 때문에 발생하게 된다.

☑️ 2.4. 영속성

DRAM과 같은 장치는 데이터를 휘발성(volatile) 방식으로 저장하기 때문에 데이터는 쉽게 손실될 수 있다.
- 전원이 꺼지거나, 시스템이 갑자기 고장나면 메모리의 모든 데이터는 사라진다.
데이터를 영속적으로 저장할 수 있는 H/W와 S/W가 필요하다.
H/W 장치는 입력과 출력, I/O 장치 형태로 제공된다.
디스크를 관리하는 운영체제에 속한 소프트웨어를 파일 시스템(File System)이라고 부른다.
- 파일 시스템은 사용자가 생성한 파일(File)을 시스템의 디스크에 안전하고 효율적으로 저장할 책임을 가진다.
운영체제는 다른 것과는 다르게 H/W 장치는 가상 H/W 장치를 만들지 않는다.
- 오히려 사용자가 파일은 다른 파일에서 공유하기 원한다고 가정한다.
Visual Studio 프로그램에서 C 파일을 생성하고 편집한다.
- 컴파일이 완료되면 새로 생성된 파일을 실행할 수 있다.
- Visual Studio는 입력 파일을 생성하면, 컴파일러는 입력 파일을 바탕으로 실행 파일을 생성한다.

#include <stdio.h>
#include <unistd.h>
#include <assert.h>
#include <fcntl.h>
#include <sys/types.h>

int main(int argc, char *argv[]) {
    int fd = open("/tmp/file", O_WRONLY | O_CREAT | O_TRUNC, S_IRWXU);
    assert(fd > -1);

    int rc = write(fd, "hello world\n", 13);
    assert(rc == 13);

    close(fd);
    return 0;
}

코드 동작 설명 : 프로그램은 운영체제를 호출해서 파일을 열고 "hello world"를 작성한다. 그리고 파일을 닫는다.

데이터를 디스크에 작성하기 위해서 운영체제가 하는 일은 단순하지 않다.
- 새 데이터가 디스크의 어디에 저장될 지 결정한다.
- 파일 시스템이 관리하는 다양한 자료 구조를 통하여 데이터의 상태를 추적해야 한다.
  - 이 작업은 저장 장치부터 기존 자료 구조를 읽거나 갱신해야 한다.
복잡한 작업은 운영체제에서 시스템 콜(System Call)이란 표준 방법을 제공함으로서 장치들을 손쉽게 접근할 수 있게 한다.
- 이런 점으로 인해서 운영체제는 표준 라이브러리처럼 보이기도 한다.
장치 접근 방법과 파일 시스템이 데이터를 영속적으로 관리하는 방법은 좀 더 복잡하다.
- 대부분의 파일 시스템은 성능 향상을 위해서 응용 프로그램이 요청한 쓰기를 모아서 한 번에 처리한다.
- 응용 프로그램 입장에서는 요청한 쓰기 내용이 저장 장치에 기록될 때까지 일정시간 지연이 발생하는 것이다.
- 쓰기 요청 발생 후, 정전이 발생한다면 기록 요청 내용 중 일부가 손실 될 수 있다.
  - 혹은 불안정해지므로, 기록 순서를 보장 받을 수 없을지도 모른다.
저널링(Journaling), 카피-온-라이트(Copy-On-Write) : 시스템의 갑작스러운 다운에 대비하여 복구할 수 있는 기법
- 이 기법들은 쓰기 명령 간에 기록 순서를 강제로 보장한다.
- 효율적인 디스크 작업을 위해 단순한 LinkedList부터 B-Tree까지 다양한 종류의 자료 구조를 사용한다.

☑️ 2.5. 설계 목표

운영체제는 CPU, 메모리, 디스크 등의 자원을 가상화(Virtualize)한다.
운영체제는 복잡한 병행성 문제를 처리한다.
운영체제는 파일을 영속적으로 저장하여 오랜 시간 동안 안전한 상태에 있게 한다.
이 모든 것들을 구현하려면 설계와 구현에 집중하고 필요한 경우, 절충안을 찾는 것이 필수적이다.
기본적인 목표는 시스템을 편리하고 사용하기 쉽게 만드는 개념들을 정의하는 것이다.
- 컴퓨터 과학에서 추상화는 모든 일의 근간이다.
- 추상화를 통해 이해할 수 있는 큰 무언가의 덩이를 이해할 수 있는 작은 덩이로 만들 수 있다.
운영체제의 설계와 구현에 중요한 목표는 성능이다.
- 오버헤드를 최소화하는 것이 중요하다.
- 가상화, 사용하기 쉬운 시스템을 만드는 것은 의미가 있으나, 반드시 해야하는 것은 아니다.
- 기능들을 과도한 오버헤드 없이 제공하는 것이 중요하다.
또 다른 목표는 응용 프로그램 간의 보호, 그리고 운영체제와 응용 프로그램 간의 보호다.
- 다수 프로그램이 실행되기 때문에, 운영체제는 악의적인 혹은 의도치 않은 행위가 다른 프로그램에 영향을 주지 않는다는 것을 보장해야 한다.
- 보호는 운영체제의 원칙 중 하나인 고립(isolation) 원칙의 핵심이다.
운영체제는 지속되어 실행되어야 한다.
- 운영체제가 실패하면 위에서 동작하는 모든 응용 프로그램도 실패한다.
- 운영체제는 높은 신뢰성(reliability)을 제공해야 한다.
  - 운영체제가 복잡해질수록 신뢰성 있는 운영체제를 구현하는 일은 매우 어려워진다.
에너지 효율성(Energy-Efficiency)와 같은 목표도 녹색 세상을 위해서 중요하다.
악의적인 응용 프로그램에 대한 보안(Security)은 지금 시대의 네트워크 환경에서 중요하다.
이동성(Mobility)는 운영체제가 작은 장치에서 사용될수록 중요해지고 있다.

☑️ 2.6. 배경 소개

초창기 운영체제는 많은 일을 하지 않았다.
- 기본적으로 자주 사용되는 함수들을 모은 라이브러리에 불과했다.
- 옛날에는 컴퓨터를 조작하는 사람이 프로그램을 한 번에 하나씩 실행했다.
- 작업이 준비되면 컴퓨터 관리자가 일괄적으로 처리했으며, 이러한 방식의 컴퓨팅을 일괄 처리(Batch)라고 한다.
이후, 운영체제는 단순한 라이브러리를 넘어서 중요한 역할을 한다.
- 운영체제 코드는 하드웨어 장치의 제어를 담당하기에, 다른 응용 프로그램과는 다른 취급을 받아야 한다.
- 모든 응용 프로그램이 원하는 디스크의 파일들을 자유롭게 읽을 수 있다면 개인 정보를 보호하는 것은 불가능하다.
- 파일 시스템과 같은 프로그램들을 일반적인 라이브러리 형태로 구현하면 자료의 기록과 보호가 어려웠다.
- Atlas 컴퓨팅 시스템에 의해 시스템 콜이라는 아이디어가 발명되었다.
운영체제 코드를 실행하기 위해서 정해진 규칙에 따라 제어 가능한 과정을 거치도록 만들었다.
- 시스템 콜과 함수 호출의 결정적인 차이는 제어를 운영체제에 넘길 때, 하드웨어 특권 수준(Hardware Privilege Level)을 상향 조정하는 것이다.
- 응용 프로그램은 유저 모드(User Mode)에서 실행이 된다. 이 상태에서는 응용 프로그램이 할 수 있는 일을 하드웨어적으로 제한한다.
- 시스템 콜은 트랩(Trap)이라고 불리는 특별한 매커니즘을 이용하여 호출된다. 지정된 트랩 핸들러(Trap Handler) 함수에 제어권을 넘기고 특권 수준을 커널 모드(Kernel Mode)로 격상시킨다.
  - 트랩 핸들러 함수는 운영체제에서 미리 구현되어 있다.
- 운영체제가 서비스를 완료하면 Return-From-Trap 특수 명령어를 사용해서 제어권을 다시 응용 프로그램에게 넘긴다.
다음 운영체제의 발전은 멀티 프로그래밍에서 달라졌다.
- 한 번에 하나의 프로그램을 실행시키는 대신 운영체제는 여러 작업을 메모리에 탑재하고 빠르게 전환하며 CPU 사용률을 향상시킨다.
- 입출력 장치가 느리기 때문에 전환(Switching) 능력이 중요했다.
- CPU에서 입출력 시간을 기다리는 것 보다 다르게 활용하는 것이 좋지 않을까란 생각으로 인터럽트를 통한 입출력 작업 처리 등의 기법들이 운영체제에 도입되었다.
현대 시대에 넘어와서는 잠시 과도기가 있었다.
- 개인용 컴퓨터(Personal Computer)가 많아지면서 다양한 운영체제가 생겨났고 이전에서 생긴 실수들을 반복했다.
- 시간이 지나면서 이전 실수들을 다시 하나씩 수정해나갔고 지금의 운영체제가 생기게 되었다.

[게임 수학] 5장. 행렬 : 가상 세계의 변환 도구

태역 — Tue, 15 Jul 2025 16:33:20 +0900

☑️ 5장. 행렬 : 가상 세계의 변환 도구

행렬은 가상공간에서 체계적으로 공간 변환을 수행해 주는 수학적 토대다. 이번 장에서는 선형성, 행렬의 원리 및 활용 방법, 2차원 공간 위에서 사용 가능한 유용한 행렬 변환, 가상 세계 물체 변환, 변환을 원 상태로 복구하는 등의 원리를 학습해 보자.

☑️ 5.1. 선형성: 예측 가능한 비례 관계

선형성(Linearity) : 직선의 형태를 띠는 성질이면서 두 집합의 순수한 비로 구성된 대응 관계를 의미한다.
- 수학에서는 가법성과 1차 동차성을 모두 만족하는 함수의 성질로 정의한다.
  - 가법성 공식 : \[f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)\]
  - 1차 동차성 공식 : \[
    f(k \cdot x) = k \cdot f(x)
    \]

▶️ 5.1.1. 선형 함수

가법성과 1차 동차성을 통해서 선형 함수임을 나타내는 과정을 증명한다.
- $f(x) = ax$
  - 가법성 : $a(x_1+x_2) = ax_1 + ax_2$
    - 원소가 체의 구조를 가졌을 때, 분배법칙으로 인해 성립된다.
  - 1차 동시성 : $ a(kx) = k(ax) $
    - 원소가 체의 구조를 가졌을 때, 곱셈에 대해서 결합법칙과 교환법칙이 성립된다.
- $ f(x) = x^2 $
  - 가법성 : $ (x_1)^2 + (x_2)^2 + 2x_1 x_2 != (x_1)^2 + (x_2)^2 $
    - 가법성을 만족하지 못하므로 선형성을 만족하는 함수가 아니다.
- $ f(x) = ax+b $
  - 가법성 : $ a(x_1+x_2) + b != ax_1 + ax_2 + 2b $
    - 가법성을 만족하지 못하므로 선형성을 만족하는 함수가 아니다.
출력값에 역함수를 적용하면, 입력값을 계산하는 것이 가능하다.

▶️ 5.1.2. 벡터 공간의 선형 변환

입력과 출력을 2차원 벡터 공간으로 설정하고 선형성을 가지는 함수를 알아보자.
- 정의역 벡터 공간 : V
- 정의역 벡터 공간의 원소 : $ \vec{v} $
- 공역 벡터 공간 : W
- 공역 벡터 공간의 원소 : $ \vec{w} $
2차원 벡터를 입출력으로 사용하는 선형성을 가지는 함수
- $ f(\vec{v}) = f(x, y) = (ax+by, cx+dy) $
- 수식이 길어서 생략. 가법성과 1차 동차성을 만족한다.
표준기저벡터의 선형 결합으로 형성된 벡터 공간은 선형성을 지닌다.
- 해당 벡터 공간을 선형 함수로 변화시킨 새로운 공간도 기저벡터의 선형 결합으로 이루어지기 때문에 선형성을 가진다.
- 이런 대응 관계를 변환(Transformation)이라고 한다.
벡터 공간에서 발생하는 선형 변환의 원리는 크기 변환 및 회전 변환과 관련 있다.

☑️ 5.2. 행렬

행렬(Matrix) : 수를 사각형 형태로 행과 열을 맞춰 배열한 테이블
- 열벡터 : $ \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} $
- 행벡터 : $ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix} $
정방행렬(Square Matrix) : 행과 열이 같은 크기인 행렬
- 선형 변환을 표현할 때 사용한다.
- 정방행렬의 크기가 2일 때, 2개의 행벡터 혹은 2개의 열벡터로 구성되었다고 이야기 할 수 있다.

▶️ 5.2.1. 행렬의 기본 연산

책에서 알아야 하는 행렬의 연산은 4가지가 있다.
행렬과 행렬의 덧셈
- 피연산자는 서로 같은 크기를 가져야 한다.
- 두 행렬 간의 덧셈은 같은 위치의 원소끼리 더한다.

\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1+5 & 2+6 \\
3+7 & 4+8
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
6 & 8 \\
10 & 12
\end{bmatrix}
\]

행렬과 스칼라의 곱셈
- 행렬을 구성하는 모든 원소에 스칼라를 곱한다.

\[
3 \cdot
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3\cdot1 & 3\cdot2 \\
3\cdot3 & 3\cdot4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 & 6 \\
9 & 12
\end{bmatrix}
\]

행렬의 전치
- 행렬의 전치 연산은 행과 열을 바꾸는 작업을 수행한다.

\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}^{T}
=
\begin{bmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{bmatrix}
\]

행렬과 행렬의 곱셈

▶️ 5.2.2. 행렬의 곱셈

행렬의 곱셈은 앞에 위치한 행렬의 행 벡터와 뒤에 위치한 행렬의 열 벡터를 각각 곱하는 방식으로 다음과 같이 진행된다.

\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\
3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50
\end{bmatrix}
\]

행렬 곱셈의 주요 성질 중 하나는 교환 법칙이 성립하지 않는다는 점이다.
행렬 곱셈의 특징은 다음과 같다.
- 결합 법칙을 만족한다.
- 행렬 곱을 전치한 결과는 순서를 바꾼 후 각각 전치해 곱한 결과와 동일하다.
  - 전치 : 행과 열을 바꾸는 작업
행렬 곱셈의 결과는 2차원 벡터 공간의 선형 변환과 동일하다.
- 2x2 정방행렬 A는 2차원 공간의 선형 변환에 대응되는 함수를 의미한다.
- 수식은 선형 변환을 적용해 새로운 벡터를 생성하는 작업으로 해석할 수 있다.

▶️ 5.2.3. 정방행렬의 곱셈

2x2 정방행렬 간의 곱셈은 합성함수에 대응되는 연산이다.
벡터 $ \vec{v}$에 2x2 정방행렬 A, B를 곱하는 연산을 생각해 보자.
- 벡터 공간 V에 속한 벡터 $ \vec{v}$가 벡터 공간 W의 벡터로 대응하는 관계로 해석 가능하다.
합성함수는 결합법칙을 만족하고, 합성함수에 대응하는 행렬의 곱셈도 결합법칙을 만족한다.
결합법칙이 성립하는 행렬 곱의 성질은 CG 연산에서 유용하다.
- 100개의 점으로 구성된 물체가 화면으로 출력되기까지 5번의 선형 변환이 발생한다 가정하자.
- 각 점마다 5번의 행렬 곱이 수행되므로, 총횟수는 500이 된다.
- 결합법칙이 성립하는 행렬 연산의 특징을 사용하면 계산량을 줄이면서 동일 결과를 얻을 수 있다.
  - 행렬 곱을 4번 수행해서 합성함수에 해당하는 행렬 F를 만든다.
- 각 점에 미리 계산된 행렬 F만 곱하면 동일한 결과가 나오게 된다.
  - 최초 합성 변환을 만들기 위한 4번의 행렬 곱
  - 벡터마다 1번의 행렬 곱이 수행(점은 100개다)
  - 최종적으로 연산은 104번 수행되었다.

☑️ 5.3. 행렬의 설계

평면 상의 물체를 우리가 원하는 형태로 변환하기 위해 2x2 행렬을 설계하는 방법을 보자
벡터 공간 V를 구성하는 두 표준기저벡터를 선형 변환을 통해 벡터 공간 W의 벡터 (a, c), (b, d)와 대응된다고 생각해 보자.
- 벡터 공간 V의 $ \vec{v} = (x, y) $ 는 표준기저벡터의 선형 결합으로 생성된다.
- 벡터 $ \vec{v}$가 선형 변환되는 경우, 동일한 선형 결합식을 사용해 벡터 $ \vec{w} $ 가 계산된다.

▶️ 5.3.1. 크기 변환행렬

크기 변환행렬(Scale Transformation Matrix) : 물체의 크기를 변경하는 행렬.
크기 변환 : 각 표준기저벡터를 동일한 방향으로 지정한 크기만큼 늘리는 변환

\[
S =
\begin{vmatrix}
a & 0 \\
0 & b
\end{vmatrix}
\]

▶️ 5.3.2. 회전 변환행렬

회전 변환행렬(Rotation Transformation Matrix) : 주어진 각 $\theta $로 벡터 공간을 회전시키는 행렬.

\[
R(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\]

▶️ 5.3.3. 전단 변환행렬

전단 변환행렬(Shear Transformation Matrix) : 물체의 형태를 평행하게 기울이는 행렬.
- 한 축 방향만 평행 이동이 일어나고 나머지 축은 유지된다.

\[
S =
\begin{vmatrix}
1 & a \\
0 & 1
\end{vmatrix}
\]

▶️ 5.3.4. 삼각함수의 덧셈 정리

삼각함수 응용에 유용하게 사용되는 공식에는 삼각함수의 덧셈 정리가 있다.

\[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \]

\[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \]

☑️ 5.4. 역행렬

선형 변환을 수행하는 행렬은 함수의 성질을 지니기 때문에 항등행렬과 역행렬이 존재한다.
항등행렬(Identity Matrix) : 원 공간의 변화 없이 동일한 공간으로 유지하는 변환.
- 모든 대각 성분이 1이고, 나머지는 0이다.

\[
I =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]

역행렬(Inverse Matrix) : 행렬 곱의 결과가 항등행렬이 나오는 특별한 행렬.

\[
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
\]

▶️ 5.4.1. 역행렬의 존재를 판별하는 행렬식

함수가 역함수를 가지기 위해서는 전단사함수여야 한다.
행렬도 마찬가지이므로, 역행렬이 존재하는지 파악하는 수식, 행렬식(Determinant)을 사용해서 판별한다.
- 행렬식은 det() 기호로 표기한다.

\[
\det(A) =
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
= ad - bc
\]

행렬식의 값이 0인 선형 변환은 전단사 대응이 성립하지 않는다.
- 역행렬이 존재하지 않음.
- 2차원 평면의 넓이가 소멸되면서 평면의 모든 요소는 1차원 선 위에 놓이게 된다.
  - 2차원으로 돌아갈 수 없음.

▶️ 5.4.2. 크기 변환행렬의 역행렬

변환행렬의 역행렬은 늘어난 크기를 원래 크기로 변화시킨다.
크기 변환행렬 S는 다음과 같다.

\[
S =
\begin{vmatrix}
a & 0 \\
0 & b
\end{vmatrix}
\]

크기 변환행렬의 역행렬은 다음과 같다.

\[
A^{-1} =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{a} & 0 \\
0 & \frac{1}{b}
\end{bmatrix}
\]

▶️ 5.4.3. 전단 변환행렬의 역행렬

전단 변환행렬 S는 다음과 같다.

\[
S =
\begin{vmatrix}
1 & a \\
0 & 1
\end{vmatrix}
\]

전단 변환행렬의 역행렬은 다음과 같다.

\[
S =
\begin{vmatrix}
1 & -a \\
0 & 1
\end{vmatrix}
\]

▶️ 5.4.4. 회전 변환행렬의 역행렬

회전 변환행렬 S는 다음과 같다.

\[
R(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\]

회전 변환행렬의 역행렬은 다음과 같다.

\[
R^{-1}(\theta) = R(-\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\]

역행렬에서 부호가 변하지 않는 cos 함수는 대각선 영역에만 존재한다.
- 회전행렬과 역행렬은 서로 전치 관계에 있다.
- 역행렬을 따로 구하지 않고 기존 행렬에 전치 연산을 적용하는 방법으로 구할 수 있다.

▶️ 5.4.5. 행렬 곱의 역행렬

합성함수의 역함수에 대해 아래의 수식이 성립됨에 따라서 합성함수에 해당하는 두 행렬의 곱의 역행렬도 성립된다.

\[
(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}
\]

\[
(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}
\]

[게임 수학] 4장. 삼각함수 : 회전을 위한 수학

태역 — Sun, 6 Jul 2025 22:50:08 +0900

☑️ 4장. 삼각함수 : 회전을 위한 수학

회전은 원의 궤적을 따라서 이동하는 움직임이기 때문에, 이해하기 위해서는 원과 밀접한 관계에 있는 삼각 함수를 알아야 한다. 삼각함수부터 회전까지를 소개한다.

☑️ 4.1. 삼각함수

한 각이 직각(90도)인 삼각형을 직각삼각형이라고 한다.
- 한 각이 직각이므로, 두 각의 합이 90도가 된다.
삼각비(Trigonometric Ratio) : 직각삼각형의 세 변 중 두 변의 비례 관계를 나타내는 것

6가지의 비례 관계 중에서 코사인, 사인, 탄젠트이 대표적이다.
- $ \sin(\theta) = \frac{\text{높이}}{\text{빗변}} $
- $ \cos(\theta) = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}} $
- $ \tan(\theta) = \frac{\text{높이}}{\text{밑변}} $

삼각함수(Trigonometric Function) : 직각삼각형에서 두 변의 비로 정의되며, 개념을 단위원 위의 점과 각도로 확장하면서 각의 범위를 실수 전체로 확장한 것.
- 반지름이 1인 단위 원(Unit Circle)을 사용해서 나타내면 삼각함수를 쉽게 파악할 수 있다.

빗변의 길이가 1이 되기 때문에 $\sin$과 $\cos$의 값은 각각 밑변과 높이의 길이가 된다.

\[
\begin{align*}
\sin(\theta) &= \frac{\text{높이}}{\text{빗변}} = \frac{\text{높이}}{1} = \text{높이} \\
\cos(\theta) &= \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}} = \frac{\text{밑변}}{1} = \text{밑변}
\end{align*}
\]

단위 원에서 r배 증가한 벡터의 좌표는 스칼라 곱셈을 통해서 다음과 같이 구한다.

▶️ 4.1.1. 삼각함수의 성질

데카르트 좌표계에서 각도는 x축에서 원의 궤적을 따라 반시계 방향으로 회전한 크기를 의미한다.
- 단위 원에서 벡터 $\vec{v} = (1, 0)$의 $\sin, \cos$ 값은 $0, 1$이다.
각도를 $0^\circ ~ 90^\circ$까지 증가하면서 회전시켜보자.
- 벡터의 $x$값은 감소하고 $y$값은 증가한다.
- 각도가 $90^\circ$를 넘어서면 벡터의 $x$값은 $0$을 지나서 음수가 되고 $y$값은 $0$을 향해 감소한다.

GIF에서 보이듯이 [-1,. 1] 범위 안에서 $360^\circ$마다 반복한다.
- 진폭(Amplitude) : 변화 값의 범위
- 주기(Period) : 반복되는 각도
$Y$축을 접어 좌우를 포갰을 때, 형태를 가지고 함수의 성질을 구분할 수 있다.
- 짝함수(우함수, Even Function) : 좌우 대칭의 성질을 가진 함수
- 홀함수(기함수, Odd Function) : 원점 대칭의 성질을 가진 함수
$\tan$ 함수는 빗변과 무관하게 밑변과 높이의 관계를 나타낸다.
- 공식 : $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
- 분모의 값은 0이 될 수 없다.
  - $\cos$ 함수의 값이 0이 되는 $90^\circ, 270^\circ, -90^\circ , -270 ^\circ$에선 $\tan$ 함수의 정의역에 포함되지 않는다.

▶️ 4.1.2. 각의 측정법

각도법(Degree) : 원 한 바퀴를 360도로 나눈 방식
- 360이란 수는 약수가 많아 원을 나누기에 편리하다.
- 하지만, 수학적으로는 단위로 삼기에 값이 커서 불편하다.
호도법(Radian) : 호의 길이를 기준으로 각을 측정하는 방법
- 반지름이 1인 단위에서, 길이 1만큼의 호를 갖는 중심각을 1 라디안(Radian)이라고 한다.
- 반원에 해당하는 호의 길이는 3.14, 즉 $\pi$다.
  - $\pi = 180^\circ$의 관계가 성립한다.

☑️ 4.2. 삼각함수를 활용한 물체의 회전

물체의 이동과 크기 조정은 서로 수직인 X축과 Y축의 방향으로 독립적으로 적용된다.
- 각 축을 계산하고 결합해도 최종 결과는 동일하다.
회전은 X, Y 값이 함께 영향을 미치게 되어 분리 후 결합을 통해서 계산할 수 없다.
벡터 공간은 두 표준기저벡터 $e_1, e_2$를 기저로 두고 둘의 선형 결합으로 표현한다.
- 두 표준기저벡터를 $\theta$ 만큼 회전시키면 반시계 방향으로 회전시키면 아래와 같이 바뀐다.
- $e_1' = ( \cos \theta, \sin \theta)$
- $e_2' = ( -\sin \theta, \cos \theta)$
어떤 벡터 $\vec{v} = (1, 1)$에 대해서 회전된 좌표계에서의 좌표는 아래와 같이 계산 가능하다.
- $\vec{v}' = ( \cos \theta - \sin \theta, \sin \theta + \cos \theta )$

☑️ 4.3. 삼각함수의 역함수

지금까지 삼각함수를 사용해 주어진 각에 대응하는 벡터 좌표를 얻는 방법을 배웠다.
- 게임 개발에서는 벡터의 좌표로부터 대응하는 각도를 얻는 작업도 필요하다.
- 그렇기 때문에 삼각함수의 역함수와 이에 대한 성질을 알아야 한다.
$sin$ 함수의 대응 관계를 살펴보면 정의역의 여러 요소가 공역의 한 요소에 대응한다.
- 공역의 범위를 [-1, 1] 구간으로 한정해 정의하면, $\sin$ 함수는 전사함수의 성질을 지닌다.
- 정의역 범위를 좁혀 정의역의 한 요소가 공역의 한 요소에 대응되도록 하면 전단사 함수를 만들 수 있다.
어떤 함수를 전단사함수로 만들면 $sin$ 값이 주어졌을 때, 각도를 구할 수 있는 역함수가 존재하게 된다.
- 정의역과 공역의 범위를 제한시켜 얻은 $sin$ 함수의 역함수를 $arcsin$(아크사인) 함수라고 부른다.
- $cos$ 함수도 정의역과 공역을 제한하면 전단사함수를 만들 수 있고 역함수는 $arccos$(아크코사인)이라고 부른다.
- $tan$ 함수는 $-90^\circ$와 $90^\circ$일 때, y 값이 존재하지 않는다.
  - $-90^\circ, 90^\circ$을 제외한 $(-90^\circ, 90^\circ)$ 범위가 되어야 한다.
  - $arctan$(아크탄젠트) 함수라고 부른다.
$arctan$ 함수는 벡터의 각도를 구하는 곳에 유용하게 사용된다.
- $\vec{v} = (x, y)$일 때, $\frac{y}{x}$를 계산하면 벡터로부터 $tan$ 함수 값을 얻을 수 있다.
- 얻은 값을 $arctan$ 함수에 넣으면 해당 벡터가 X축과 이루는 사잇각을 얻을 수 있다.
- $arctan$ 함수의 치역은 $(-90^\circ, 90^\circ)$ 구간이므로, 각의 범위에 제한이 있다.
  - $arcsin, arccos$ 함수도 동일한 상황이다.
$arctan$ 함수는 인자에 분수 값을 넣지 않고, $x, y$를 분리해 전달하면 4분면 전체에 이르는 각도를 얻을 수 있다.
- 분리해서 전달하면 부호를 파악해서 벡터의 분면을 제대로 파악할 수 없다.
- $arctan$ 함수는 분수 값을 인자로 받는 함수와 분리해서 전달하는 함수가 구분되어 있다.
  - $atan2$ 함수 : 인자로 X, Y를 분리해서 전달하는 함수 (모든 분면에 대응 가능)

☑️ 4.4. 극좌표계

극좌표계(Polar Coordinate System) : 회전 동작을 기반으로 설계된 좌표계
- 원점으로부터의 거리 $r$과 각 $\theta$로 구성되어 있다.
  - 좌표 표기 : $(r, \theta)$
- 시간에 따른 회전, 회전 효과 연출 시 사용한다.
벡터 $(x, y)$는 크기와 $arctan$ 함수를 사용해서 극좌표계로 표현 가능하다.
- $r = \sqrt{x^2+y^2}$
- $\theta = atan2(y, x)$
반대의 경우는 다음과 같다.
- $x = r \cdot \cos \theta$
- $y = r \cdot \ sin \theta$

[게임 수학] 3장. 벡터 : 가상 공간의 탄생

태역 — Thu, 3 Jul 2025 20:21:09 +0900

☑️ 3장. 벡터 : 가상 공간의 탄생

1차원 직선의 한계는 명확하다. 좁은 직선을 벗어나서 넓은 평면에서 시각적으로 의미 있는 물체를 생성하기 위한 개념들을 소개한다.

☑️ 3.1. 데카르트 좌표계

데카르트 좌표계(Cartesian Coordinate System) : 직선의 수 집합을 수직으로 배치해 평면을 표기하는 방식.
- 수평으로 배치한 첫 번째 실수 집합의 미지수를 x로 표기
- 수직으로 배치한 두 번째 실수 집합의 미지수를 y로 표기
평면의 영역은 총 4개의 분면으로 나뉘게 된다.

데카르트 좌표계의 원소는 곱집합과 동일하게 순서쌍으로 표기한다.
- (x, y) : 좌표

☑️ 3.2. 벡터 공간과 벡터

▶️ 3.2.1. 스칼라와 벡터

벡터 공간(Vector Space) : 공리적 집합론의 관점에서 두 개의 실수를 곱집합으로 묶고 새로운 공리를 덧붙여서 만들어진 공간
- 벡터 공간을 표기 할 때에는 V를 주로 사용한다.
- 벡터(Vector) : 벡터 공간의 원소
  - 벡터 원소는 $\vec{v}$를 사용한다.
벡터 공간은 공리적 집합론의 관점에서 생각해야 한다.
- 벡터는 실수 집합이 곱집합으로 묶인 상태지만, 공리적 집합론의 관점으로 실수 집합에 속하지 않는다.
- 체의 구조를 지니는 집합, 체 집합 원소로 규정하고 스칼라(Scalr)라고 한다.
- 좌표로 사용하는 x와 y도 스칼라다.

▶️ 3.2.3. 벡터의 크기와 이동

벡터의 크기 : 원점으로부터의 최단 거리
- 피타고라스 정리를 통해서 구한다.
- 노름(Norm)이라는 용어로 부르기도 한다.
- 공식 : $\|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$
단위 벡터(Unit Vector) : 크기가 1인 벡터
- 벡터의 크기를 측정하는 기준이 된다.
- 정규화(Normalize) : 벡터를 단위 벡터로 만드는 작업
- 공식 : $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$

☑️ 3.3. 벡터의 결합과 생성

선형 결합(Linear Combination) : N개의 벡터와 N개의 스칼라를 조합해서 새로운 벡터를 만드는 연산
선형 종속의 관계 : 선형 결합에서 스칼라가 0이 아닌 경우에도 결과로 영벡터를 가지는 관계
- 선형 종속의 관계는 두 벡터가 같은 원점으로부터 동일한 선상에 위치한 상태를 의미한다.
선형 독립의 관계 : 선형 결합에서 영벡터가 나오기 위해서 스칼라가 0(Zero)이어야 하는 관계
- 선형 독립의 관계인 경우, 두 벡터에 스칼라를 결합하면서 벡터 공간의 모든 원소를 표현할 수 있다.
기저(Basis) : 선형 독립 관계를 가지는 벡터의 집합
- 기저에 속한 원소를 기저 벡터(Basis Vector)라고 한다.
표준 기저(Standard Basis) : 기저 중에서 한 축만 사용하는 단위 벡터로 구성된 집합
- 표준 기저 벡터(Standard Basis Vector) : 표준 기저에 속하는 원소

[게임 수학] 2장. 수 : 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위

태역 — Wed, 2 Jul 2025 18:28:24 +0900

☑️ 2장. 수 : 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위

모니터 화면에 나타나는 그래픽은 체계화된 수들이 만들어 내는 질서에 불과하다. 그렇기 때문에 가상 세계로부터 게임 콘텐츠가 만들어지는 과정을 이해하고 싶다면 수학 개념을 알아야 한다.

☑️ 2.1. 수와 집합

소박한 집합론 : 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수, 복소수, 사원수 등 같은 원소로 묶인 집합을 의미한다.
소박한 집합론은 일상 생활에서는 불편함 없이 사용 가능하지만, 컴퓨터 세상에서는 구성이 불가능하다.
- 공리를 기반으로 수를 구분하는 집합론인 공리적 집합론(Axiomatic set theory)를 사용해야 한다.

▶️ 2.1.1. 연산과 수의 구조

이항 연산(Binary Operation) : 두 원소를 통해서 새로운 원소를 만들어내는 연산
이항 연산은 다음과 같은 성질을 가진다.
- 닫혀 있다(Closure) : 연산 결과가 투입한 두 원소의 집합에 항상 속해있다.
  - $2 + 3 = 5$
- 교환 법칙(Commutative Law) : 두 수를 연산할 때, 수의 순서와 상관 없이 값이 일정하다.
  - $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$
- 결합 법칙(Associative Law) : 연산이 두 번 이상 연속될 때, 앞선 연산을 먼저 계산한 결과와 뒤의 연산을 먼저 연산한 결과가 동일하다.
  - $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4)$
- 분배법칙(Distributive Law) : 서로 다른 2가지 연산에 대해서 아래의 규칙이 성립해야 한다.
  - 좌분배 법칙 : $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
  - 우분배 법칙 : $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$
- 항등원(Identity) : 임의의 원소와 연산을 했을 때, 결과로 원소 자신이 나오는 특별한 수
  - 덧셈의 항등원 : $a + 0 = a$
  - 곱셈의 항등원 : $a \cdot 1 = a$
- 역원(Inverse) : 연산 결과를 항등원을 가지는 수
  - 덧셈의 역원 : $5 + (-5) = 0$
  - 곱셈의 역원 : $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$

▶️ 2.1.2. 수의 구조

아래 11가지 성질을 만족하는 수 집합은 체의 구조를 지니고 있다고 한다.
- 덧셈 연산에서 아래 5가지 성질을 만족해야 한다.
  1. 닫혀 있다
  2. 교환 법칙이 성립한다.
  3. 결합 법칙이 성립한다.
  4. 항등원이 존재한다.
  5. 역원이 존재한다.
- 곱셈 연산에서 아래 5가지 성질을 만족해야 한다.
  1. 닫혀 있다.
  2. 교환 법칙이 성립한다.
  3. 결합 법칙이 성립한다.
  4. 항등원이 존재한다.
  5. 역원이 존재한다
- 연산에 대해 아래 1가지 성질을 만족해야 한다.
  1. 분배 법칙이 성립해야 한다.
유리수, 실수는 11가지 성질을 만족하기 때문에 체의 구조를 지닌다.
- 체의 구조를 지니는 집합은 덧셈과 곱셈을 통해서 뺄셈, 나눗셈 연산을 한다.
  - 수학과 첨언 : 뺄셈과 나눗셈은 없다. 애초에 이게 Def다.

☑️ 2.2. 함수

함수(Function) : 두 집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 두 번째 집합의 원소에 대응하는 관계

▶️ 2.2.1. 함수의 개념과 종류

두 집합을 $X, Y$ 기호로 지정하고 각자의 원소를 $x, y$라고 할 때 대응되는 함수를 $y=f(x)$로 표기한다.

아래의 두 규칙을 성립하면 함수로 정의할 수 있다.
1. 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 존재해야 한다.
2. 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 한다.
함수에서 첫 번째 집합은 정의역(Domain)이라고 하고 두 번째 집합을 공역(Codomain)이라고 한다.
- 정의역에 대응되는 공역의 원소만 모아서 부분 집합을 만든 것을 치역(Range)라고 한다.
함수는 다음과 같은 종류가 있다.
- 전사함수(Surjection) : 공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수
- 단사함수(Injection) : 정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수
- 전단사함수(Bijection) : 전사함수와 단사함수의 성질을 가지고 있는 함수
  - 정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일 대응한다.

▶️ 2.2.2. 합성함수

함수의 합성 : 2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산

▶️ 2.2.3. 항등함수와 역함수

항등함수와 역함수는 항등원, 역원과 동일한 개념을 가진다.
항등 함수(Identity Function) : 정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수
역 함수(Inverse Function) : 연산 결과로 항등 함수를 가지는 함수
- 모든 함수가 역함수를 가지지는 않는다.
  - 전사함수는 하나의 원소가 두 개의 원소에 대응된다.
  - 단사함수는 정의역의 모든 원소가 대응되지 않기 때문에 역함수는 함수의 조건을 만족할 수 없다.
    - 함수 성립 규칙 중 2번 충족 미달.

[알고리즘] C++로 이해하는 다익스트라(Dijkstra)

태역 — Sun, 22 Jun 2025 01:18:27 +0900

☑️ C++로 이해하는 다익스트라(Dijkstra)

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 알고리즘이다. 한 정점에서 모든 정점까지의 최단 경로를 구하면서 각 정점까지의 최단 경로를 모두 찾는다. 오래된 알고리즘이라서 이를 개선하거나 영향을 받은 알고리즘도 많은데, 각각 A* 알고리즘, 벨만-포드 알고리즘, 플로이드-워셜 알고리즘 등이 있다.

☑️ 다익스트라 알고리즘 프로세스

각 노드의 거리를 무한대로 초기화한다.
시작노드의 거리는 0으로 설정한다.
이전 노드를 저장할 공간을 Null로 설정한다.
방문하지 않은 노드 집합 Q에 모든 노드를 추가한다.
노드 집합 Q가 비어있지 않다면 반복한다
1. Q에서 Dist가 가장 작은 노드를 선택한다.
2. Q에서 선택한 노드를 제거한다.
3. 선택 노드의 인접 노드를 순회한다.
  1. 새로운 거리를 확인하고 인접 노드 거리보다 작으면 갱신한다

☑️ 다익스트라 알고리즘의 장단점

▶️ 장점

최단 거리를 보장한다.
우선순위 큐와 함께 사용할 시에 효율적으로 작동한다.

▶️ 단점

음수 가중치가 있는 그래프에서는 사용이 불가능하다.
모든 정점에 대해서 계산하게 된다.
밀집된 그래프에서는 느려질 수 있다.

☑️ 시간 복잡도

다익스트라 알고리즘은 그래프 표현 방식과 구현 방식에 따라서 달라질 수 있다.

우선순위 큐 사용 : O(V+E log)
선형 검색 : O(V^2)

☑️ 다익스트라 알고리즘 구현(C++)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <limits>

using namespace std;

using pii = pair<int, int>;

const int INF = numeric_limits<int>::max();

vector<int> dijkstra(int start, const vector<vector<pii>>& graph) {
    int n = graph.size();
    vector<int> dist(n, INF);
    priority_queue<pii, vector<pii>, greater<>> pq;

    dist[start] = 0;
    pq.push({0, start});

    while (!pq.empty()) {
        int cost = pq.top().first;
        int now = pq.top().second;
        pq.pop();

        if (cost > dist[now]) continue;

        for (const auto& [next_cost, next] : graph[now]) {
            int total_cost = cost + next_cost;
            if (total_cost < dist[next]) {
                dist[next] = total_cost;
                pq.push({total_cost, next});
            }
        }
    }

    return dist;
}

int main() {
    vector<vector<pii>> graph(4);
    graph[0].push_back({2, 1});
    graph[0].push_back({1, 2});
    graph[1].push_back({3, 3});
    graph[2].push_back({1, 3});

    int start = 0;
    vector<int> distances = dijkstra(start, graph);

    for (int i = 0; i < distances.size(); ++i) {
        if (distances[i] == INF)
            cout << "노드 " << i << ": 도달 불가" << endl;
        else
            cout << "노드 " << i << ": " << distances[i] << endl;
    }

    return 0;
}